Mon jardin en Géométrie
Application des propriétés des faisceaux harmoniques
Dans les articles concernant les faisceaux harmoniques , on trouve décrit en détail toutes leurs propriétés mais pratiquement aucun exemple d'utilisation . Pourtant ce peut être un outil très performant comme on va le voir ci après .
Démontrer l'alignement des points D (milieu de AB) ,
I (centre du cercle inscrit) et M (milieu de CL ) L étant le point de tangence du cercle inscrit avec AB .
Les cotés BC et BA forment avec les bissectrices BI et BJ un faisceau harmonique (propriété des bissectrices de l'angle CBA) . Les points C , I , F et J sont donc en division harmonique (intersection du faisceau par la droite CJ).
Les projections de ces points sur AB soit H , L , F et K sont aussi en division harmonique (propriété des projections sur une droite d'une division harmonique) .
D est le milieu de KL . (Voir démonstration en fin)
Le faisceau reliant le sommet C aux points H , L , F et K (en division harmonique) est harmonique
La droite GL parallèle à la branche CH de ce faisceau coupe les 3 autres branches (CL , CF et CK) en parts égales . I est donc le milieu de GL . Dans le triangle GLK , DI reliant les milieux de 2 cotés est parallèle au 3° coté GK . Dans le triangle CLK , DM reliant les milieux de 2 cotés est parallèle au 3° coté CK . Les droites DI et DM toutes deux parallèles à CK sont donc confondues et les points M , I et D sont bien alignés .
Il reste à démontrer que D est le milieu de KL
CP = CQ
CA + AP = CB + BQ
CN + NA + AK = CM + MB + BK
CN + AL + AK = CM + BL + BK
Comme CM = CN
AL + AK = BL + BK
AK + KL + AK = BL + BL + LK
2.AK + KL = 2.BL + LK
Donc AK = BL et comme D est le milieu de AB , on en déduit que D est aussi le milieu de KL .
