Mon jardin en Géométrie
Utilisation du nombre d'or
Les utilisations du nombre d'or sont rares hors des domaines de l'architecture ou des arts .
Pourtant , de part sa définition (φ² = φ + 1) et sa relation avec les angles de 18° (voir ci dessous) , il peut aider à la simplification d'expressions algébriques comme le montre l'exemple ci après .
L'exercice va consister à calculer la valeur de l' angle α de la figure ci contre . Cette valeur peut être trouvée par la géométrie . Ici on propose une méthode algébrique .
Soit AB et AC 2 tangentes au cercle et formant un angle de 36° . D et F les milieux respectifs de AC et AB
Les droites DB et FM se coupent en E .
Après avoir démontré que E est sur le cercle , on calculera les coefficients directeurs (a et a') des droites BD et FM
a = (Y(D) - Y(B) / (X(D) - X(D)) , a' = (Y(M) - Y(F) / (X(M)
pour ensuite calculer l'angle par la formule :
α = Arctg a - Arctg a'
Pour simplifier les expressions , on se place dans un repère centré sur le cercle dont le rayon est supposé égal à 1 .
Dans ce repère , u= sin 18° et v = cos 18° ,
OA / OC = OC / u soit OA = 1/u (puisque OC = 1) et u² + v² = 1
Les coordonnées des différents points sont : A (1/u , 0) , B (u , -v) , M (-1 , 0)
A partir de ces coordonnées , on calcule les équations des droites BD : f(x) et FM : g(x)
+
On calcule ensuite les coordonnées du point d'intersection E de ces 2 droites .
Donc
Pour simplifier ces expressions , on utilise les relations suivantes (démontrées à partir de cos 36° = φ/2) :
cos 2a = 1 - 2sin² a soit sin² a = 1/2 - (cos 2a) /2
sin² 18° = 1/2 - φ /4 = (2 - φ) / 4 = (1 + φ - 2 φ + 1) / 4 = (φ² - 2 φ + 1) / 4 = (φ - 1)² / 4
u = sin 18° = (φ -1) / 2
u^2 = (2 - φ) / 4
u^3 = (2 - φ) (φ -1) / 8 = (2 φ -2 - φ ² + φ) = (2φ - 3) / 8
u^4 = (5 - 3φ) / 16
2 u^4 + 5 u^3 + 3u^2 + u + 1 = (5 - 3 φ)/8 + (10 φ - 15)/8 + (12 - 6 φ)/8 + (4 φ - 4)/8 + 8/8 = (5 φ + 6)/8
u2 + 3u + 2 = (2 - φ)/4 + (3 φ - 3)/2 + 2 = (2 - φ + 6 φ - 6 + 8) / 4 = (5 φ + 4) / 4
A l'aide de la calculette , on vérifie que EX² + EY² = 1 donc le point E est bien sur le cercle .
Puis on calcule α = Arctg a - Arctg a'
α = Arctg (3u/v) - Arctg (-uv / (u² + 2u + 1)) pour trouver α = 54°
Que de calculs (longs mais pas compliqués) pour un angle aussi particulier (3π / 10)
Les simplifications apportées par l'utilisation du nombre d'or sont aussi spectaculaires pour EX que pour EY
